Fonction du second degré
Définition :
On appelle fonction polynôme du second degré toute fonction définie sur 
(qui existe pour tout réel) du type :
où a,b,c sont des coefficients réels avec
.
Exemple :
Fonctions qui sont des fonctions polynômes du second degré :
Fonctions qui ne sont pas des fonctions polynômes du second degré :
Remarque :
La fonction carré est la fonction du second degré la plus simple.
Simulation : Étude du comportement des fonctions polynômes de degré 2 par constations graphiques
A l'aide du logiciel Geogebra, faire varier les coefficients a,b et c et essayer d'émettre des conjectures sur leur influence sur la fonction.
De simples constations seront par la suite admise dans le cours comme définition ou propriétés.
Fondamental : Caractéristiques communes avec la fonction carré
La courbe représentant une fonction polynôme du second degré est une parabole :
- elle admet un axe de symétrie : parallèle à l'axe des ordonnées d'équation :
- la fonction f admet un extremum et donc la parabole un sommet de coordonnées :
.Le sommet est sur l'axe de symétrie.
La fonction admet un changement de sens de variation au niveau de son axe de symétrie (on remarque qu'il dépend du signe du coefficient a de x²).
Fondamental : Sens de variation d'une fonction polynôme du second degré : ax²+bx+c
Le sens de variation de la fonction dépend du signe de a (le coefficient de x²) :
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Simulation :
Attention, les valeurs des coefficients relatifs aux 2 formes non pilotantes sont arrondis.
L'animation ci-dessous présente les formes classiques des fonctions du second degré.
Chacune des formes apportent des informations par l'intermédiaire de ces coefficients sur les variations de la fonction et sa courbe représentative.
La forme canonique permet de plus de résoudre facilement les équations du type
où a est un nombre.
La forme factorisée permet de résoudre immédiatement
.
