Module de 2sd

Lecture d'un tableau de variation

Soit le tableau de variation de la fonction f donné ci-dessous :

fongen 26

Question

Quel est le domaine de définition, noté Df, de la fonction f ?

Solution

Le domaine de définition de la fonction f est l'ensemble des nombres qui ont une image par la fonction f :

d'après le tableau de variation, l'ensemble de définition Df est : Df =[-3 ; 7].

Question

Quelle est l'image de -3 par f ? de 7 par f ?

Solution

  • L'image de -3 par f est : f(-3)=-1.

  • L'image de 7 par f est : f(7)=3.

Question

Quel est le maximum de f sur [-3 ; 7] ?

Indice

voir définition du maximum d'une fonction sur un intervalle.

Solution

Le maximum de f sur [-3 ; 7] est : 4 car pour tout , .

Question

Quel est le maximum de f sur [4 ; 7] ?

Indice

voir définition du maximum d'une fonction sur un intervalle.

Solution

Le maximum de f sur [4 ; 7] est : 3 car pour tout , .

Question

Quel est le minimum de f sur [4 ; 7] ?

Solution

Le minimum de la fonction f sur [4 ; 7] est -2 car : pour tout , .

Question

Quels sont le ou les antécédents de 4 par f sur [-3 ; 7]?

Solution

4 est le maximum de la fonction f sur [-3 ; 7] et n'apparaît qu'une fois dans le tableau donc :

4 admet un et un seul antécédent par f qui est 0 ( car f(0)=4).

Question

Quels sont le ou les antécédents de 0 par f sur [-3 ; 7]?

Solution

  • La fonction f est strictement croissante sur [-3 ; 0] telle que f(-3)=-1 et f(0)=4. Or , donc 0 admet un antécédent a par f appartenant à [-3 ; 0] :

    fongen 27

  • La fonction f est strictement décroissante sur [0 ; 4] telle que f(0)=4 et f(4)=-2. Or , donc 0 admet un antécédent b par f appartenant à [0 ; 4] :

    fongen 28

  • La fonction f est strictement croissante sur [4 ; 7] telle que f(4)=-2 et f(7)=3. Or , donc 0 admet un antécédent c par f appartenant à [4 ; 7] :

    fongen 29

  • La fonction f admet donc 3 antécédents a, b, c pour 0 sur [-3 ; 7] avec , et .

Question

Donner le nombre de solutions de l'équation f(x)=0 sur [-3 ; 7].

Indice

Quel lien existe-t'il entre les solutions de f(x)=k et les antécédents de k par f ?

Solution

Les solutions de f(x)=0 sont les antécédents de 0 par f donc f(x)=0 admet 3 solutions a, b, c sur [-3 ; 7].

Question

Donner un intervalle sur lequel f est strictement croissante ?

Solution

La fonction f est strictement croissante sur :

  • [-3 ; 0] et donc aussi sur [-3 ; -2], [-3 ; -2.9], [-1 ; -0.5]... tout intervalle inclus dans [-3 ; 0].

  • et aussi sur [4 ; 7] et donc aussi sur [4 ; 4.2], [5 ; 7]... tout intervalle inclus dans [4 ; 7].

Attention

On ne peut pas dire que f est strictement croissante sur .

En effet la définition d'une fonction strictement croissante est :

  • Fonction strictement croissante sur un intervalle :

    On dit qu'une fonction définie sur un intervalle I est strictement croissante sur I lorsque pour tout couple a, b de I on a : a < b f(a) < f(b).

    Autrement dit : la variable x et son image f(x) varient dans le même sens.

    (si x augmente alors f(x) augmente).

  • Or dans notre exemple, -1<5 mais je ne sais pas d'après le tableau si f(-1)<f(5).

  • Donc f strictement croissante sur [-3 ; 0] et f strictement croissante sur [4 ; 7] ne signifie pas que f strictement croissante sur .

Question

Donner le nombre de solutions de l'équation f(x)= avec

Indice

Il peut-être utile de redessiner le tableau sous la forme suivante :

fongen 30

Solution

D'après le tableau de variation (sens de variation et valeurs des images) :

  • alors l'équation f(x)=k admet une solution unique: x=4

  • alors l'équation f(x)=k admet deux solutions : une sur [0 ; 4] et une sur [4 ; 7]

  • alors l'équation f(x)=k admet trois solutions  : une sur [-3 ; 0], une sur [0 ; 4] et une sur [4 ; 7]

  • alors l'équation f(x)=k admet deux solutions : une sur [-3 ; 0] et une sur [0 ; 4]

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