Fonction à une variable
Définition : Une grandeur est fonction d'une autre
D'une manière générale on dit qu'une grandeur y est fonction d'une autre grandeur x (appelée variable) si , lorsque la valeur de x est donnée, y peut être déterminée de manière unique .
L'ensemble des valeurs possibles de x est appelé domaine de définition de la fonction (ensemble des x pour lesquels y existe).
A chaque valeur x du domaine de définition correspond une unique valeur de y appelée image de x par la fonction f :
On dit que x est un antécédent de y : il n'est pas forcément unique. (différentes valeurs de x peuvent donner la même valeur y).
Remarque : Fonction de plusieurs variables
Il arrive souvent qu'une grandeur soit fonction de plusieurs variables :
Ainsi l'aire d'un rectangle est fonction de ses deux côtés : A = ab pour tout a
et b
.Le moment d'une force en un point est égal au produit de la norme de la force par la distance appelée "bras de levier" : MA=F.d
Nous n'étudierons cependant que les fonctions à une seule variable.
Complément : Comment définir une fonction ?
Attention, une fonction n'est pas toujours exprimable par une expression algébrique !!
Il y a de multiples façons de définir une fonction.
Explicitement par une expression algébrique :
Exemple : Soit la fonction définie par : pour tout x réel,
Image d'un nombre par f :
| Antécédent d'un nombre par f :
|
La fonction est définie complétement (pour toute valeur de x appartenant au domaine de définition, f(x) peut être calculée) et on obtient les valeurs exactes.
Approximativement par une courbe: la variable en abscisse, l'image en ordonnée
 Exemple de courbe | La fonction est tracée sur un intervalle donné, avec une précision donnée. |
 Courbe quelconque avec points repérés |
f est définie partiellement (ici [-1 ;4]) et les valeurs sont approchées. Mais le comportement général de f apparaît clairement (sous condition d'une échelle appropriée). |
Autres....Il y a bien d'autres façons de définir une fonction
Exemple :
x | -1 | -0.5 | 0 | 0.5 | 1 |
f(x) | 3 | 2.6 | 1/8 | -4 | -12 |
f(x) connue exactement pour certaines valeurs de x.
Définition : Variations d'une fonction
 Courbe quelconque 3 | Fonction strictement croissante sur un intervalle : On dit qu'une fonction définie sur un intervalle I est strictement croissante sur I lorsque pour tout couple a, b de I on a : a < b
Autrement dit : la variable x et son image f(x) varient dans le même sens. (si x augmente alors f(x) augmente) Fonction strictement décroissante sur un intervalle : On dit qu'une fonction définie sur un intervalle I est strictement décroissante sur I lorsque pour tout couple a, b de I on a : a < b
Autrement dit : la variable x et son image f(x) varient dans des sens contraires (si x augmente alors f(x) diminue) Remarque : La portion de courbe ci-contre représente une fonction strictement croissante sur l'intervalle dessiné. |
Définition : Maximum et minimum d'une fonction sur un intervalle
On appelle maximum M de
sur un intervalle
la plus grande valeur que peut prendre
quand
:pour tout
,
.On appelle minimum m de
sur un intervalle
la plus petite valeur que peut prendre
quand
:pour tout
,
.
Exemple : Courbe et tableau de variation
Courbe et tableau de variation : Le tableau de variations est un tableau servant à indiquer le sens de variations d'une fonction :
|  tableau et courbe |
Constatations que l'on peut faire à partir de la courbe et du tableau de variation :
Sur l'intervalle [-1 ;5],
la fonction admet 2 extremums :
un minimum : -5 en x=1
un maximum : 20 pour x=3.5
0 admet 2 antécédents un appartient à [-1;1] et l'autre appartient à [1;3.5]
Dit autrement : l'équation f(x)=0 admet 2 solutions : une appartient à [-1;1] et l'autre appartient à [1;3.5]
la fonction est strictement croissante sur [1;3.5] (dans le tableau : flèche vers le haut) et strictement décroissante (dans le tableau : flèche vers le bas) sur
Remarque :
Dans un tableau de variation, une fonction constante sur un intervalle est représentée par une flèche horizontale.
Définition : Parité d'une fonction
Fonction paire | Fonction impaire | Fonction Ni paire Ni impaire |
|---|---|---|
Une fonction f est dite paire si : pour tout x de son domaine de définition, on a : f(-x) = f(x) ce qui signifie que « deux nombres opposés ont toujours même image » | Une fonction f est dite impaire si : pour tout x de son domaine de définition ,on a : f(-x) = f(x) ce qui signifie que« deux nombres opposés ont toujours des images opposées » | Il n'existe pas de lien entre f(x) et f(-x) |
Interprétation graphique : f paire si et seulement si sa représentation graphique est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées | Interprétation graphique : f impaire si et seulement si sa représentation graphique est symétrique par rapport à l'origine.
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Exemple : pour tout x réel :
Pour une valeur particulière :
| Exemple :pour tout x réel :
Pour une valeur particulière :
| Exemple : pour tout x réel :
Pour une valeur particulière :
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