Étude des variations d'une fonction
Définition : fonction dérivable
On dit qu'une fonction f est dérivable sur un intervalle I si et seulement si on peut calculer le nombre dérivé pour tout x de I.
Méthode :
Pour déterminer les variations d'une fonction
:
Déterminer la fonction dérivée
qui lui est associéeÉtudier le signe de la fonction dérivée
En déduire le sens de variations de la fonction
:si f'(x)>0 pour tout
, alors la fonction f est strictement croissante sur
si f'(x)<0 pour tout
, alors la fonction f est strictement décroissante sur
si f'(x)=0 pour tout
, alors la fonction est constante sur
Exemple :
Soit la fonction f définie sur 
:
.
Sa fonction dérivée est la fonction
définie sur :
.
La fonction
est une fonction du second degré :
le coefficient de
est positif donc la courbe est orientée dans le sens U (admet un minimum)pour connaître son signe nous devons savoir si elle s'annule :
calcul de Δ :
d'après les propriétés des fonctions du second degré, nous savons que :
si
alors
et donc
est décroissantesi
alors
et donc
est croissantesi
alors
et la courbe représentant
admet une tangente horizontale
Définition : Fonction dérivée d'une fonction du second degré
Soit la fonction f du second degré définie sur :
où a,b,c réels et a non nul.
La fonction dérivée
de la fonction
est :
.
