Les deux transporteurs (ex 67 p 64 transmath nathan)
Un particulier a des marchandises à faire transporter. Le transporteur 1 lui demande 460 € au départ et 3,50 € par kilomètre parcouru. Le transporteur 2 lui demande 1 000 € au départ et 2 € par kilomètre parcouru.
Question
Réaliser, sous algobox, un algorithme permettant d'indiquer la formule la moins chère et son coût.
L'algorithme ci-dessous permet de savoir quel est le transporteur le moins cher et le coût de revient correspondant.
Lors du test de la condition, une préférence est donnée au transporteur 1 en cas d'égalité de coût.
Question
Pour quelles distances à parcourir est-il plus avantageux de s'adresser au second transporteur?
Plusieurs solutions sont possibles, certaines étant plus précises ou rapides que d'autres...
Solution 1 : par essais successifs
Utilisation de l'algorithme précédent :
En utilisant l'algorithme précédent pour un nombre de kilomètres grandissant, on s'aperçoit que le transporteur 1 est moins cher jusqu'à un certain nombre de kilomètres. Ensuite le transporteur 2 semble être toujours moins cher. Attention, a priori, nous n'avons pas prouvé que le transporteur 1 ne redevient pas moins cher au delà d'un certain nombre de kilomètres.
Utilisation d'un tableur :
C'est le même raisonnement et donc le même problème de preuve d'une valeur unique autour de laquelle un transporteur deviendrait moins cher qu'un autre.
Deux possibilités de présentation :
- sous la forme du calcul des 2 coûts pour un nombre de kilomètres rentrés :
- sous la forme d'un tableau pour une liste de kilométrages possibles :
Attention : Conjecture non prouvée
On a constaté que pour un nombres de kilomètres "faibles", le transporteur 1 était moins cher. Puis qu'à partir de 360 km, le transporteur 2 devenait moins cher. Mais dire que le transporteur 2 est le moins cher pour tout kilométrage supérieur à 360 est une supposition non prouvée : rien ne nous dit qu'à priori, le transporteur 1 ne redeviennent pas moins cher à un moment donné.
Solution 2 : par mise en équation :
On constate que le coût de revient est fonction du nombre de kilomètre effectué. On définit alors :
-
: le nombre de kilomètres
-
: le coût du transporteur 1 :
-
: le coût du transporteur 2 :
.
On cherche pour quelles valeurs de n
.
Résolution par le calcul :
Nous avons prouvé ici que pour tout kilométrage supérieur à 360 km le transporteur 2 est le moins cher.
Résolution graphique :
On trace les deux fonctions
. Les deux fonctions étant des fonctions affines de n :- leur représentation est une droite
- lorsqu'un coût devient supérieur à l'autre, il le reste.
On cherche les coordonnées du point d'intersection et on résout graphiquement l'inégalité
.
Le point d'intersection est A(360 ; 1720) donc le coût est le même (1720 euros) quand le nombre de kilomètres est de 360 km. Au-delà de 360 km, le coût du transporteur 2 est moins élevé (la droite rouge est en-dessous de la droite bleu). |  affine 14 |
